日前，威尼斯8846数学与统计学院万捷副研究员在国际学术期刊《Mathematische Annalen》发表题为“Structure of Green’s function of elliptic equations and helical vortex patches for 3D incompressible Euler equations”的研究论文。该论文给出了散度型二阶椭圆算子Green函数的展开公式，并由此证明了无限管道区域上三维不可压缩欧拉方程集中到涡丝方程的螺旋对称涡补丁解的存在性和轨道稳定性。某种程度上给出了涡丝猜想在螺旋对称情形下的一个证明。

三维不可压缩欧拉方程的涡丝猜想是流体力学中十分重要的问题之一。1908年，DaRios和Levi-Civita通过研究截面半径很小的涡管的运动，得到涡管的中心线Γ满足如下涡丝方程 ∂tΓ="c∂sΓ×∂ssΓ。该方程又称为副法向曲率流(Binormal" Curvature Flow)。当三维不可压缩欧拉方程的初始涡度场集中到一维曲线Γ(0)时，任意t时刻演化的涡度场是否会集中到满足涡丝方程的Γ(t)，目前为止仍未解决。该问题又称为涡丝猜想，并受到了Davila，Fraenkel，Jerrard， VanSchaftingen, Wei等著名数学家的广泛关注。目前这方面的研究主要针对几种特殊情况：涡丝为直线，平移圆周以及平移旋转螺旋线。当涡丝是螺旋线时，是否可以构造一族三维欧拉方程的真实解，使得对应的涡度场的截面具有紧支集且集中到满足涡丝方程的平移旋转螺线，仍然是未知的。其主要困难是求一类散度型半线性二阶椭圆方程组解的集中性问题，而散度型椭圆算子对应Green函数的渐近展开是没有的。

万捷与中科院数学与系统科学研究院曹道民研究员利用椭圆方程理论，创造性的给出散度型二阶椭圆算子L=-∇⋅(K(x)∇)在Dirichlet边界条件下的Green函数的展开公式：

结合该式以及重排函数理论，万捷等人证明了存在一族三维欧拉方程的涡补丁解，使得对应的涡度场W_ε拓扑上为截面半径ε的螺旋涡管，且当ε趋于零时W_ε集中到满足涡丝方程的平移旋转螺线。 利用能量、角动量守恒以及紧性分析，文章还得到了涡补丁解在L^p扰动下的轨道稳定性。《Mathematische Annalen》期刊的审稿人评价“It's a solid work, with a significant contribution to an interesting problem and clever use of a broad set of techniques.”

这项研究工作是由万捷副研究员与中科院数学与系统科学研究院曹道民研究员合作完成，万捷副研究员为通讯作者，本项工作得到国家自然科学基金和威尼斯8846青年教师学术启动计划的资助。

论文链接：https://link.springer.com/article/10.1007/s00208-023-02589-8

附个人简介：

万捷，特聘副研究员，北理工数学与统计学院偏微分方程团队成员。本科毕业于中国科学技术大学、博士毕业于中科院数学与系统科学研究院。长期从事流体力学特别是不可压缩欧拉方程的研究工作。在Mathematische Annalen 、Journal of Functional Analysis、SIAMJournal Math Analysis 等权威期刊发表了十余篇高水平学术论文。